Files d’attente
- Tn
désigne les instants d’arrivée du nième client.
- Xn
= Tn+1 – Tn représente les interarrivées, indépendantes, identiquement distribuées.
- Vn
est le temps de service du nième client, indépendants. Sauf préemption, le service s’effectue en une seule fois.
- Nomenclature
: type du processus d’arrivée / loi de service / nombre de serveurs / discipline d’attente (FIFO par défaut) / capacité de la file (infinie par défaut)
- Rn
= temps passé par le nième client dans le système. E(R) = lim 1/n Si=1 to nRi quand n tend vers l’infini.
- A(t)
= nombre de clients arrivés sur [0,t].
- N(t)
= nombre de clients présents dans le système à l’instant t. E(N) = lim 1/t int0 t N(u)du quand t tend vers l’infini, cela représente le nombre moyen de clients dans le système.
- E(l)
= lim 1/t A(t) quand t tend vers l’infini, ce qui représente le taux moyen d’arrivée dans le système par unité de temps.
- Wn
= temps d’attente du nième client.
- Little
: si N(t) est ergodique et E(l) et E(R) finies alors, E(N) = E(l).E(R)
Une file markovienne est caractérisée par un processus de naissance et de mort. il n’y a pas de mémoire, un seul serveur, probabilité de fn de service µ(n) et probabilité d’une arrivée l (n). {N(t), t>=0} est une CMTC. A noter que si l (n) <> l (n’), le processus des arrivées n’est pas un processus de poisson, si µ(n) <> µ(n’), la distribution du temps de service n’est pas exponentielle. Mais {N(t)} est markovien et la VA est distribuée selon la loi exponentielle de taux (l(n)+µ(n)).
- p = l / µ, souvent appelé l’intensité de trafic.
- M / M / 1 ó P(l), l(n)= l / exp(µ), µ(n) = µ / serveur unique. La série devient Si 1 à infinie pi, converge ssi p<1. La probabilité d’inoccupation du serveur P0 = 1 - p. Pi = pi(1-p) si p<1. E(u) = p²/ (1-p). E(n) = p / (1 – p). E(R) = E(n) / l = 1 / (µ - l) et E(W) = E(u) / l = p / µ(1-p) = E(R) – 1 / µ. Taux d’activité du serveur U = 1- P0 = p.
- M / M / r ó P(l), l(n)= l / exp(µ), µ(n) = inf(n,r)*µ/r / r serveur. La série devient Si 1 à r-1 (pi ri / i !) + Sj 0 à infinie (pj), converge ssi p<1. La probabilité que le système soit vide P0 = 1 / Si 1 à r-1 (pi ri / i !) + rr pr / r !(1-p). Pi = pi ri / i ! * P0 si i<=r, Pi = pi rr / r ! * P0 si i>=r. Espérance du nombre de clients en attente E(u) = rr pr+1 / r !(1-p)²* P0. Espérance du nombre de clients dans le système E(n) = rp + E(u). E(R) = E(n) / l et E(W) = E(u) / l = E(n) – rp / l = E(R) – r / µ. Espérance du nombre de clients en service E[Ns] = lr / µ = rp.
- M / M / infinie ó P(l), l(n)= l / exp(µ), µ(n) = nµ / infiniment de serveur. La série devient Si 1 à infini (pi / i !) = ep-1, converge pour p réel. P0 = e-p. Pi = pi / i ! * P0. E(u) = 0 et E(R) = E(n) / l = 1 / µ. E[Ns] = l / µ = p= E(n).
Si la capacité est de K clients au maximum, le service compris. E = {0,1,…,K}, Card E = K+1 et l (K)=0. On obtient une série finie Si 1 à K Pk1 à i(l (k-1) / µ(k)) qui converge toujours car K>0. On a aussi Pi = Pk = 1 à i (l (k-1) / µ(k) ) / 1 + Sj 1 à K Pk1 à j(l (k-1) / µ(k)) avec en convention P0k=1=1.
- M / M / infinie / K ó
P0=1 / Sj=0 à K pj / j ! et Pi = pi / i ! * P0.
- M / M / r / K ó
pour K >= r, Pi = ri pi / i ! * P0 si i<= r, Pi = rr pi / r ! * P0 si r<=i<=K et P0 = 1 / Si 1 à r-1 (pi ri / i !) + Si r à K rr pi / r !. E(n) = E(u) + rp(1- Pk). P0 ne change pas.
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